LTE所選擇的上行傳輸方案是一個新變量：SC-FDMA(單載波-頻分多址)相比于傳統OFDMA其優點是既有單載波的低峰均功率比(PAPR)，又有多載波的可靠性。在上行鏈路這點特別重要，較低的PAPR可在傳輸功效方面極大提高移動終端的性能，因此可延長電池使用壽命。代表LTE物理上行共享信道(PUSCH)的基帶信號產生過程如圖1所示[1]。

    圖1中的轉換預編碼是由一種對稱形式DFT完成，其種類及變換長度L=2k1×3k2×5k3(L≤1 200)見表1。

    轉換預編碼是根據不同的輸入長度L動態地執行表1中的一種DFT。其主要特點是包含的DFT種類多、規模龐大，這給硬件設計帶來挑戰。以前的文獻大都以基2或單個混合基FFT[6]為重點進行闡述，而以多種混合基FFT為核心的文章還很難發現。本文提出一種基于FPGA的轉換預編碼解決方案。
1 算法選擇
    Cooley-Tukey算法和Good-Thomas算法是當前流行的FFT算法，文獻[2]中已對其原理進行過深入討論，這里不再贅述。
    (1)Cooley-Tukey算法具有良好的模塊性，并且可以實現原位計算，對輸入數據以及旋轉因子的抽取具有規律性。文獻[3]提出的一種基3 FFT算法是Cooley-Tukey算法應用在基3 FFT中的另一種表述。這一算法區別于其他FFT算法的一個重要事實就是因子可以任意選取，通用性強，且所有的運算單元均相同，易于實現。
    (2)Good-Thomas算法只適合因子互質的情況，由于避免了中間級乘旋轉因子的運算，因此比Cooley-Tukey算法的運算次數少得多。FFT點數越大，越能體現其在節省資源方面的優點。
    文獻[4]提出一種基于Cooley-Tukey算法的傳輸預編碼解決方案。此方案的優點是操作簡單、模塊規則、利于編程實現；缺點是需要做的級間旋轉因子乘法較多(最多達幾百)，乘法器和存儲器等硬件資源開銷較大，同時將大大增加系數初始化的工作量。對幾種不同長度FFT運算量進行比較見表2。

    表2中的混合算法指Good-Thomas算法與Cooley-Tukey算法相結合。可以看出，Good-Thomas算法與Cooley-Tukey算法相結合與文獻[4]相比，減少了級間旋轉因子乘法數，可以有效降低運算量，這些運算量的降低對整個系統的實現起著至關重要的作用，而其付出的代價只是復雜度的略微提升。
    綜上所述，在實現混合FFT時，選擇Good-Thomas算法與Cooley-Tukey算法相結合，且優先選擇Good-Thomas算法，其次為Cooley-Tukey算法，系統設計將從Good-Thomas算法出發。
2 總體結構設計
    從表1中看出，LTE上行轉換預編碼要進行的FFT變換種類多，但每一種變換的架構是相似的，都是由基2及非基2點FFT的公共模塊組成。基2有點數為4，8，16，32，64，128，256的模塊，非基2的有點數為3，9，15，27，45，75，81，135，225和243的模塊，只要抽出這些公共模塊并精心設計，再合理地調用，就會順利完成這個看似繁瑣的工作。
    圖2所示總體結構框圖中，模塊A和C分別為數據輸入和輸出模塊；模塊B為數據處理模塊，其主要思想是動態配置和公共模塊的復用，內部FFT模塊事先單獨生成，MUX1，MUX2是選擇器，在不同輸入點數的情況下動態配置不同的內部FFT模塊來組合成外層FFT，這樣內部FFT模塊就可以達到復用的目的，可以大大減少總體資源耗用，而處理速度也與單獨執行各FFT相當。

3 硬件實現
    在實際應用中，一般由FPGA完成需要快速和較為固定的運算，由DSP完成靈活多變和運算量較大的任務[7]。Xilinx Virtex-5 SXT平臺針對具有低功耗串行連接功能的DSP和存儲器密集型應用進行了優化，具有硬件結構可重構的特點，適合算法結構固定、運算量大的前端數字信號處理，可以大量卸載這些功能，釋放DSP帶寬以處理其他功能，所有這一切都使得FPGA在數字信號處理領域顯示出自己特有的優勢。
3.1 地址映射
    以1 080點FFT在圖2所示系統中的實現過程分析系統工作原理。因為1 080=8×135，且8和135互質，故外層采用Good-Thomas算法。
    輸入地址映射：
  
    FPGA內嵌Block RAM的使用可以大大節省FPGA的可配置邏輯功能塊（CLB）資源。Good-Thomas算法需要對輸入輸出數據進行排序，輸入輸出端處理方法相同，這里只介紹輸入端處理。在輸入端，鑒于Block RAM的特征，設置一個ROM和RAM，如圖2模塊A所示。對于不同長度的FFT，ROM不同，但RAM可以共用。在ROM里預先存放輸入數據在RAM1中的位置序號，此位置序號由（1）式得到，在時鐘沿到來時，先順序讀出存儲在ROM中的位置序號，將此數作為RAM1的地址輸入，就能將輸入數據存放到RAM1中的不同位置。這樣在輸入數據的同時完成了數據的排序，一舉兩得。1 080點FFT的輸入和輸出端地址索引如圖2所示，其邏輯時序圖見圖3。圖3中，RAM_in由測試數據xn_i和xn_r進行位拼接后輸入。

3.2 內部FFT處理單元
    當進行圖2模塊B中的操作時，內部FFT模塊先單獨生成。Xilinx提供的FFT IP核適用于基2點的FFT變換，其所采用的算法為Cooley-Tukey算法，變換長度為N=pow2(m)，m=3~16，數據采樣精度和旋轉因子精度都為8~24，故模塊B的8、16、32、64、128及256點FFT都可用IP核生成。選擇“Pipelined,streaming I/O”生成基2點FFT模塊，可以減少整體處理時間。15、45、75、135、225點FFT模塊的外層算法是Good-Thomas算法，其余采用Cooley-Tukey算法實現。
    具體到1 080點FFT，將RAM1中的數據順序讀出，由MUX1選擇進行8點FFT變換，完成第一級操作后，所得中間結果順序存儲在RAM2中；然后再將RAM2中的中間結果取出，由MUX2選擇進行135點FFT變換，共操作8次，完成第二級操作，所得結果按模塊C中ROM指示的順序存儲在RAM1中；最后順序輸出RAM1中的內容就是1 080點FFT的結果。
3.3 乘法器設計
    量化效應在數字信號處理技術實現時是很重要的問題，主要包括運算量化效應、系數量化效應等，前者的影響大于后者[5]。運算中還可能出現溢出，造成更大的誤差。上述問題對乘法器的設計提出了要求，由上文知，基2 FFT由IP核生成，故此處的乘法器設計只針對非基2 FFT有效。
    Xilinx的XC5VSX95T內部共有640個DSP48E，每個DSP48E包含一個25×18 乘法器。在調用乘法器IP時，將乘數設為寬度為25和18的signed型（旋轉因子位寬為18），輸出截取結果的[41：17]共25 bit，乘法器輸入輸出寬度相等，在結果輸出的同時對結果進行縮放，這樣利于程序模塊化，但前提是要保證數據不溢出。由于輸入采樣數據寬度只有16 bit，而轉換預編碼輸入數據最大長度只有1 200點，再考慮旋轉因子系數小于1，可以斷定25 bit位寬可使乘法器結果不溢出，且運算精度也可滿足要求。
4 性能分析
    程序利用Verilog HDL硬件描述語言編寫，在Xilinx公司的高性能設計開發工具ISE10.1i中編譯成功。當FPGA芯片選為XC5VSX95T時，在Synplify Pro 9.6.1中進行邏輯優化與綜合后顯示其最大時鐘頻率為105.6 MHz，FFs耗用29 150/58 880，LUTs耗用37 625/58 880，乘法器耗用414/640，Block Ram耗用176/488，各項指標都合符要求。布局布線成功后，在Matlab中產生一實正弦測試信號，經采樣量化成1 200點數據后輸入Modelsim SE 6.1d對程序進行后仿真，然后輸出結果回送至Matlab，得到仿真圖如圖4。

    由圖4可以看出FFT處理器處理后的結果和Matlab計算的理論結果基本一致，都在頻率為15 Hz和335 Hz處取得最大FFT絕對值，兩者之間的誤差正是數字信號處理量化效應的體現。從整體看，這些誤差是數據在經過采樣量化和截斷處理后不可避免的且是可以容忍的，因此可以判斷測試結果符合精度指標。
    本文討論了應用在LTE上行轉換預編碼中的多種FFT的軟硬件實現。與各種FFT單獨處理或只采用Cooley-Tukey算法的方法相比，本設計巧妙地將Good-Thomas算法與Cooley-Tukey算法結合起來，在硬件資源和成本消耗上都有很大的節省，速度上也能滿足要求，而且這種結構很容易進行功能擴展，只需要調整內部FFT單元的種類和數目即可。這種大規模混合基FFT的實現方法對其他場合的大規模FFT有一定的普適性。
參考文獻
[1] 3GPP TS 36.211 v8.7.0：Physical Channels and Modulation(Release 8)[S].2009，6.
[2] Uwe Meyer-Baese.數字信號處理的FPGA實現[M].劉凌，胡永生譯.北京：清華大學出版社，2003.
[3] SUZUKI Y，SONE T，KIDO K.A new FFT algorithm of radix 3, 6 and 12[J].IEEE Trans on Acoustics，Speech and Signal Processing，1986，4.
[4] MUNDARATH J.Mixed radix DFTs for LTE Uplink. Freescale Semiconductor，Inc，2008，6.
[5] CHANG Wei Hsin，TRUONG Q.On the Fixed-Point accuracy analysis of FFT algorithms[J].IEEE Trans on Signal Processing，2008，56(10).
[6] 吳松炎，管云峰，余松煜，等.非基2點FFT處理器的設計及實現[J].電視技術，2007.
[7] 李小文，李貴勇，陳賢亮，等.第三代移動通信系統、信令及實現[M].北京：人民郵電出版社，2003.