馬亞男，戴爾晗，陳誠

　　（南京郵電大學 自動化學院，江蘇 南京 210023）

       摘要：在多周期結構分析中，最大重疊離散小波變換得到的信號周期具有明顯的局限性。在對比小波方差分析中，提出了用最大重疊離散小波包方差法分析不同尺度小波方差圖、功率譜，從而得到信號周期估計的最大值。實驗結果表明，對信號或時間序列周期結構的分析是一種有效的方法，該方法可以準確估計多周期信號的小波包方差。

　　關鍵詞：功率譜；多周期；小波方差；小波包方差

　　中圖分類號：TP216+.1文獻標識碼：ADOI： 10.19358/j.issn.1674-7720.2017.03.024

　　引用格式：馬亞男，戴爾晗，陳誠.多周期信號的小波包方差分析方法［J］.微型機與應用，2017,36（3）：82-84.

0引言

　　高分辨譜估計是信號處理中的一個熱點問題。一個信號的周期性結構，在光譜分析中有兩種方法：FFT譜估計方法和現代譜估計方法。傳統的傅里葉變換方法只適用于平穩信號分析，其分辨率是固定的。當數據長度較短時，分辨率較低，且不能同時對高頻信號進行分析。所以，在應用程序中有很大的局限性［1］。近年來，一些研究人員提出了基于小波變換的現代譜估計方法，對頻率分辨率和估計精度有了較大的提高［23］。這些方法已逐漸被應用于金融、氣象、水印、海洋、機械、醫療和電子信號處理領域［46］。信號周期旋轉后，功率譜的周期結構發生變化［78］，因此，離散小波變換不能直接用于信號的周期結構分析。

　　本文將基于MODWT小波方差有效地分析估計信號的頻譜，從而分析信號的周期結構。DWT和MODWT有良好的低頻頻率分辨率,但有較低的高頻頻率分辨率；自然極大重疊離散小波包變換(MODWPT)被認為具有更好的頻率分辨率，高頻率可取代MODWT。由于小波系數的突出優勢和MODWT的縮放系數滿足平移不變性、各分解層保持相同的分辨率和無相位失真，MODWPT非常適合于非平穩信號處理［9］。實驗結果表明，使用基于MODWPT的方法來仿真信號的周期性結構具有良好的效果。

1小波方差法

　　1.1小波方差的定義

　　給定一個離散時間信號{Xt}，它可以看作是一個實現{Xt}的X0,X1,X2...XN-1的均值為零的平穩過程，且{Xt}的第d階向后差分是平穩過程。用{j,l:l=0,1,2...Lj－1}來表示一個系數為第j階MODWT的小波濾波器，并使得：

　　其中式（1）表示用{j,l}、{Xt}的小波濾波器濾波得到的隨機過程。

　　{Xt}基于尺度τj=2j－1的小波方差定義如下：

　　v2(τj)=var{Wj,t}（2）

　　1.2小波方差估計

　　為了估計小波方差v2x(τj)，使用寬度為L≥2d的小波濾波器。假設L足夠大,則E{Wj,t}= 0。根據這種假設有：

　　v2(τj)=var{Wj,t}=E{(Wj,t－Wj,t)2}=E{W2j,t}（3）

　　所以小波方差的估計可以基于平方過程{W2j,t}，假設序列{xt}的樣本大小滿足N≥Lj，并且計算出的小波系數為Wj,t，t=0,1,...，N－1。Wj,t，t=0,1,...，N－1，表示vx2(τj)的無偏估計。且小波方差的無偏估計為：

　　v

　　其中Mj=N－Lj+1，且Lj是第j階等效小波或縮放濾波器的寬度。

2小波包方差法

　　給定一個離散信號，零均值平穩過程{Xt}的實值部分的序列為X0，X1，...XN-1，{v2j,n}的估計量為：

　　其中，n=0,1,...,2j－1且Lj=(2j－1)(L－1)+1。然而，如果E{xt}是未知的，過濾器{l}的性質為∑ll=0，{v2j,n}合適的估計量是：

　　其中，n=0,1,...，2j－1，{2j,n}是小波方差估計。在低頻和高頻域中式（5）和式（6）可以估計小波方差。與小波方差相比較，可以得出這樣的結論：基于小波包方差的方法可以更準確地進行周期性結構分析。

3基于小波包方差周期結構分析

　　下面有5個正弦周期模擬信號：

　　xt=sin(2×100πt)+sin(2×175πt)+sin(2×200πt)+sin(2×300πt)+sin(2×320πt)（8）

　　頻率分別為f1=100 Hz，f2=175 Hz，f3=200 Hz，f4=300 Hz，f5=320 Hz。周期分別為T1=0.01 s，T2=0.005 7 s，T3=0.005 s，T4=0.003 3 s，T5=0.003 1 s。采樣周期為0.001 s，采樣點的數量是1 000。因此，該信號可以看作是一個離散時間序列。

　　式（8）中,xt是在MODWPT基礎上在τ8=28Δt=0.256 s的尺度下由db4小波分解了6層和8層進行小波方差的估計。計算出頻率對應于不同尺度的小波包的頻率區間。基于MODWPT的小波包方差圖如圖1(a)和(b)所示。圖1(a)表示尺度為0.064 s的小波方差。圖1(b)表示尺度為0.256 s的小波方差。

　　從圖1可以看到，小波方差圖可以分為5大峰，其頻率大致為100 Hz、175 Hz、200 Hz、300 Hz和320 Hz。下一個峰值發生在最大峰值處。從圖1可以得出結論：分解層數增加，泄漏更嚴重。

　　通過使用方程（8），可以在其中估計xt的譜密度函數x(f)，結果如圖2所示。該圖還顯示出估計是基于db4小波濾波器和分解水平j=6，j=8。此處x(f)是分段常數。從圖2中可以看出，分解尺度越大，分段常數區間越小，顯示的頻率范圍越小，峰值變尖，峰值位置越接近信號的主頻。因此，基于小波包方差功率譜估計可以準確估計信號的多周期結構。

　　有一個高頻信號如下：

　　xt=sin(2×20 000πt)+sin(2×20 500πt)（9）

　　根據MODWPT采樣周期是0.000 01 s和采樣點的數量為10 000，信號被分解為10個等級，小波包方差如圖3所示，實際尺度為τj=210Δt=0.010 24 s。對應的兩大峰值的頻率分別為f1≈20 000 Hz,f2≈20 500 Hz。因此，小波包方差的方法可以有效地識別高頻信號周期結構。

　　當尺度較大時，觀測范圍內的時間軸也較大。例如，一個低頻信號如下：

　　xt=sin(2×0.4πt)+sin(2×0.5πt)+sin(2×0.6πt)（10）

　　采樣周期為0.5 s，采樣點的數量是2 000。在MODWPT基礎上信號可以分解為5層，其中實際尺度τj=16 s，小波包方差圖如圖4所示。三大峰對應的頻率分別為f1≈0.4 Hz,f2≈0.5 Hz,f3≈0.6 Hz。它表明，小波包方差的方法可以有效地識別低頻信號周期結構。

　　基于MODWPT分析信號的小波包的變異時，理論上可以在低頻或高頻獲得高分辨率。但是由于小波變換的特殊性，當尺度因子減小時，小波包的時域波形變小，這相當于頻率域的波形變寬，意味著帶通濾波器更寬。如果減少了步長因子，小波包方差圖不理想，原因是衰減很慢，并伴隨著泄漏。

4結論

　　使用基于MODWT或MODWPT時間信號的多尺度分析可以避免初始點和信號長度的影響，而且還可以以不同的頻率有效地分解方差的序列。基于MODWT方法僅在低頻分析小波方差時有效，所以準確性估計的程度是有限的。信號的低頻和高頻域可以分別基于MODWPT被分解，因此可以得到比MODWT更高的分辨率。這表明，小波包方差法能更準確地估計多周期結構。此外，也可以在噪聲信號的多周期結構分析中使用基于小波包方差的方法。仿真結果表明，通過MODWPT分析小波包方差和功率譜，信號周期的頻率可以有效地估計。它提供了一種信號或序列的周期性結構分析的有效方法。

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