0 引言

    現實中的社會經濟網絡與各種電力、通信、水電等基礎設施網絡存在邏輯和功能上的依賴，一個網絡的運行依賴于另一個或幾個網絡的運行，比如電力網絡正常運行為通信網絡提供電力保障，通信網絡正常運行又給電力網絡提供調控信息，彼此形成更復雜的電力-通信網絡。這種由若干網絡彼此依賴而耦合成的網絡稱為“相依網絡”。

    相依網絡的正常運行至關重要，相應的故障研究工作起源于文獻[1]，BULDYREV S V在文獻[1]中研究了一對一互連的全相依網絡模型，得出相依網絡的故障滲流過程為一階形式，即網絡節點比例移除達到一定閾值，網絡完整性會急劇下降，這一結論有別于單一或孤立網絡，單一或孤立網絡移除節點時的表現形式是逐步下降的二階形式。文獻[2]對相依網絡采用負載局部分配原則的容量-負載模型，分析子網絡間的耦合強度、子網絡類型和耦合邊的故障影響。文獻[3]研究不同攻擊策略對相依網絡的影響，發現同時考慮不同子網節點度的攻擊策略比考慮單一子網的攻擊策略更有效、破壞更嚴重。文獻[4]介紹相依網絡的來龍去脈，并以經濟網絡的相依網絡為例，得出不同經濟因素的排名，表明中國經濟增長趨勢強勁。文獻[5]在相依網絡的故障中綜合考慮相依邊的依賴關系、負載作用，提出一種相依網絡模型，同時還提出一種主動的、但存在微弱擾動的故障恢復策略。文獻[6]提出一種節點外部度和內部度可調關系的相依網絡負載-容量模型，以研究外部度和內部度等因素對級聯故障的影響。文獻[7]構建雙層相依控制網絡模型，發現子網的平均度越大，網絡越魯棒。文獻[8]提出網絡間同地位節點耦合的相依網絡構建方法，將隨機網絡和無標度網絡作為耦合的子網，模擬故障滲流由一階非連續相變到二階連續相變的過程。文獻[9]提出一種考慮負載作用的級聯故障模型和低成本的故障抑制策略。

    上述研究現狀存在幾點不足：(1)負載分配策略采用局部分配策略，而實際中的節點故障會導致網絡負載發生全局重分配；(2)評估指標局限于最大連通子圖，故障評估不夠全面。本文基于節點負載全局重分配策略，對相依邊為邏輯依賴的相依網絡仿真分析，采用（非）最大連通子圖占比、迭代步長和首次迭代中（平均/最大）最短路徑長度等指標對相依網絡進行較全面的評估。

1 相依網絡模型

1.1 相依網絡簡述

    單個或孤立的子網之間通過物理依附、邏輯依賴等方式耦合成相依網絡。連接不同子網節點的邊稱作相依邊，物理依附是指相依邊兩側的不同子網節點存在功能依賴：相依邊一側節點故障，另一側節點也同樣會故障。邏輯依賴是指相依邊兩側不同子網節點存在結構上的邏輯依賴：相依邊一側節點故障不一定會導致另一側節點故障。

    節點度指節點的鄰居節點數目，度越大，節點鄰居節點越多。不同子網的節點一對一互連耦合時，存在3種耦合方式：隨機耦合、同配耦合和異配耦合。隨機耦合指一子網中節點隨機選擇另一子網中節點連接。同配耦合指一子網中大度節點與另一子網中大度節點連接，而小度節點與另一子網中小度節點連接。異配耦合指一子網中大度節點與另一子網中小度節點連接^[10]。

    子網中參與連邊耦合的節點占比代表耦合強度，節點占比越大說明耦合強度越大，若兩個子網的全部節點參與耦合互連，則稱為全相依網絡，否則稱為部分相依網絡。

1.2 相依網絡模型構建過程

    將某個獨立的子網記作子網1，對子網1復制一份副本，記作子網2。按照以下2步構建全相依網絡：

    (1)依據不同節點度（即節點的鄰居節點數目）排序規則，對子網1和子網2中節點排序，見表1。

    (2)按照表1，對子網1和子網2中全部節點自上而下一對一依次互連。

    通過以上步驟，生成隨機耦合全相依網絡、同配耦合全相依網絡和異配耦合全相依網絡，在不引起歧義的前提下，分別簡稱：隨機網絡、同配網絡和異配網絡。圖1是隨機耦合的全相依網絡的示意圖。

    圖1是由子網1和子網2節點一對一隨機互連的全相依網絡。實線代表子網內的連邊，稱之為“連接邊”，虛線代表子網間的“相依邊”。

2 負載全局重分配的級聯故障模型

    通信、電力等網絡，其信息等物理量在網絡節點對之間傳遞，每個節點有一定初始負載和容量以維持網絡功能。

3 相依網絡的性質

    仿真所用子網數據為電網拓撲IEEE118網絡和新英格蘭高壓電England網絡，分別為118個節點和120個節點。依據前文的相依網絡模型，形成IEEE118隨機網絡、IEEE118同配網絡、IEEE118異配網絡、England隨機網絡、England同配網絡和England異配網絡，拓撲性質如表2和表3所示。

    依表2和表3可知，不同耦合方式相依網絡的平均聚類系數近似，隨機網絡和異配網絡的平均最短路徑比同配網絡小。同配網絡的同配系數為正數，而隨機網絡和異配網絡的同配系數為負數，這與相依網絡構建原理一致。

4 不同評估指標的仿真分析

    采用MATLAB仿真級聯故障，初始故障節點選擇子網1中節點，相依邊為邏輯依賴。子網2節點只會由于過載而故障，不會由于相依邊的依賴而故障。采用多個指標評估級聯故障對相依網絡的影響，仿真結果為子網1中全部節點迭代20次的平均值。

4.1 最大連通子圖分析

4.1.1 最大連通子圖占比

    由于相依網絡中不同子網部分節點之間存在邏輯依賴，所以限定評估指標—最大連通子圖必需同時包含2個子網的節點，否則說明網絡已完全崩潰。

    最大連通子圖占比表征為故障后剩余節點中最大連通子圖節點數目在節點總數中的占比，占比越大，級聯故障對相依網絡的破壞作用越小，結果如圖3所示。

    分析可知，容忍系數β越大，最大連通子圖占比越大，級聯故障的破壞作用越小。IEEE118和England的隨機網絡和異配網絡在不同β下的級聯故障結果類似。在β=0時，同配網絡對應的最大連通子圖占比偏大，級聯故障破壞最小；而0.1≤β≤0.8時，同配網絡對應的最大連通子圖占比偏小，級聯故障對同配相依網絡的破壞最大。

4.1.2 非最大連通子圖占比

    在每一迭代步后，通過計算不屬于最大連通子圖的節點數目與節點總數的比值，結果如圖4所示。

    總體趨勢而言，β越大，非最大連通子圖占比越小，這是由于β越大，網絡越冗余，級聯故障對網絡的破壞越小，不屬于最大連通子圖的節點越少。同時，在β值一定時，隨機網絡和異配網絡的結果類似，而同配網絡對應的y值明顯大于隨機網絡和異配網絡，即在遭受級聯故障后，同配網絡受到更大程度的破壞。

4.2 迭代步長分析

    迭代步長描述從初始故障節點開始，級聯故障一層一層擴散的現象，代表網絡達到穩態時的故障迭代次數。迭代步長越大，網絡達到穩定時間越晚，級聯故障的影響越久；步長越小，網絡達到穩態時間越早，級聯故障的影響越短，結果如圖5所示。

    由圖可知，迭代步長總體趨勢為隨著β變化，先增加至峰值再遞減。β=0.1時，迭代步長達到峰值，β>0.1，迭代步長隨著網絡冗余的增大而減少，且同配網絡的迭代步長下降最為緩慢，網絡達到穩定越晚。IEEE118同配網絡在β≤0.1時，達到穩定更早。England不同相依網絡在β≥0.1時，迭代步長差異顯著。

4.3 首次迭代步中最短路徑長度分析

4.3.1 首次迭代步中過載節點的平均最短路徑長度

    初始故障節點i，定義f(n)為第n個迭代步中過載節點集合，|f(n)|代表相應的節點數目，k∈f(n)，則：

其中，dst(1)為首次故障迭代步中過載節點的平均最短路徑長度。由于在n≥2時，不同迭代步之間存在多個故障觸發源，不便于分析，這里取n=1。圖6是相依網絡首次迭代步中過載節點的平均最短路徑長度。

    由圖6可知，β∈(0，0.2)時，β越大，dst(1)越小，說明網絡越冗余，過載節點越傾向分布在初始故障節點附近。對比隨機網絡和異配網絡，同配網絡在β≥0.3時，dst(1)略有波動但總體不變，說明網絡冗余超過一定閾值，過載節點與初始故障節點具備相對不變距離(≈2)，即故障節點鄰居節點的鄰居節點。隨機網絡和異配網絡的dst(1)在更小的β下達到0，這是因為隨機網絡和異配網絡在此β下已達到穩態。在β=0(即網絡無冗余)時，England同配網絡的過載節點傾向分布在遠離初始故障節點處，而IEEE118不同相依網絡則無區別。

4.3.2 首次迭代步中過載節點的最大最短路徑長度

    定義f_max(n)為第n次迭代步中，距離初始故障節點i最遠的過載節點，則：

其中，dst_max(1)代表首次迭代步中過載節點的最大最短路徑長度，結果如圖7所示。

    從圖7可知，dst_max(1)曲線下降趨勢先快后緩慢。當β=0時，過載節點非常遠離初始故障節點；β=0.1時，dst_max(1)明顯小于β=0時值，說明較小的網絡冗余能顯著降低最遠的過載節點距離；繼續增大網絡冗余（β≥0.2），則對降低過載節點最遠距離無顯著作用(≈2、3)。IEEE118和England同配網絡在β∈(0，0.4)下的dstmax(1)值明顯區別于隨機網絡和異配網絡。

5 結論

    本文對IEEE118電網和England網絡作為子網進行耦合，依據不同耦合方式，構建3種不同的相依網絡。通過對不同相依網絡仿真級聯故障，并從最大連通子圖、迭代步長和過載節點分布對級聯故障深入分析，發現同配網絡比異配網絡和隨機網絡更脆弱，級聯故障對同配網絡的破壞更持久，而隨機網絡和異配網絡具備相似的級聯故障特性。通過本文研究可知，現實網絡耦合時應避免同配方式耦合，在故障發生前（后）時，應有針對性地預防（檢修）故障節點的鄰居節點的鄰居節點，避免盲目工作。

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作者信息:

王  曦，張新剛

(南陽師范學院 軟件學院，河南 南陽473061)