摘 要： 為消除經(jīng)典P-M方法在圖像平滑時引起的“階梯”效應(yīng)，提出了基于自適應(yīng)參數(shù)的高階偏微分方程圖像平滑方法，并且利用Mean Shift的核密度估計方法來確定各點(diǎn)閾值參數(shù)。與固定閾值參數(shù)的各向異性擴(kuò)散方法相比，該方法有效地保持了圖像的邊緣等重要信息,能夠更大程度地抑制孤立噪聲,從而得到更高的PSNR值和更好的視覺效果。
關(guān)鍵詞： 圖像平滑； 自適應(yīng)參數(shù)； 各向異性擴(kuò)散； 高階偏微分方程
圖像平滑作為圖像預(yù)處理基本步驟之一，為后繼圖像處理帶來很大方便，最常見圖像平滑方法是線性高斯濾波。KOENDERINK指出圖像I0(x,y)與不同尺度的高斯核卷積所得到的平滑圖像等價于傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)的熱擴(kuò)散方程的解，此解屬于各向同性擴(kuò)散,在平滑同時造成圖像特征的模糊化[1]。PERONA等提出了如下各向異性擴(kuò)散模型[2]：
就被認(rèn)為該點(diǎn)處于區(qū)域內(nèi)部并對其進(jìn)行平滑，否則認(rèn)為該點(diǎn)處于邊緣對其進(jìn)行增強(qiáng)。由于P-M各向異性濾波具有選擇性平滑機(jī)制，在平滑圖像區(qū)域內(nèi)部同時又保持原始圖像邊緣結(jié)構(gòu),因此達(dá)到了優(yōu)于線性濾波器的效果。濾波器閾值參數(shù)決定濾波器的性能，該值起到一種邊緣檢測作用。“階梯”效應(yīng)一直是困擾著P-M方法的嚴(yán)重問題[4]，這是由它的偏微分方程所決定的，是所有低階非線性擴(kuò)散方法所固有的。
基于上述問題，在圖像平滑時提出了基于自適應(yīng)的高階偏微分方程圖像平滑方法,避免了傳統(tǒng)P-M方法圖像平滑方法的缺陷，獲取比較好的視覺效果。
1 高階方法的提出
P-M方法處理結(jié)果是分段恒定的[5]，容易導(dǎo)致結(jié)果圖像“階梯”狀分布，視覺效果不理想。而高階方法的處理結(jié)果是分段線性的,在視覺感知上明顯優(yōu)于P-M方法。
2 自適應(yīng)閾值的參數(shù)估計
參數(shù)k的選取是非線性擴(kuò)散方法的一個主要難題。如何確定擴(kuò)散的范圍及擴(kuò)散的程度，使降噪和強(qiáng)化順利進(jìn)行的同時，圖像信息又不致因過度平滑而大量損失，是應(yīng)用時需要解決的關(guān)鍵問題。傳統(tǒng)確定參數(shù)的方法是人為指定一個固定常數(shù)。一般來說，不同圖像需要設(shè)置不同參數(shù)值，后來也有學(xué)者提出自動估計梯度閾值的方法，如提出自動估計梯度閾值的公式Sapiro[4]：
由于圖像不同區(qū)域邊緣強(qiáng)度分布不一致，噪聲也不同，而且不同尺度空間邊緣強(qiáng)度和噪聲也不一樣，因此對整幅圖像使用同一個全局固定的參數(shù)是不合適的。本文提出了自適應(yīng)閾值參數(shù)選擇方法，使得該算法閾值參數(shù)可以完全自動確定，真正實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)閾值參數(shù)非線性濾波。
上述分析完全是一種理想化假設(shè)，對于實(shí)際圖像處理存在如下兩大困難：
(1)由于鄰域內(nèi)所取樣本有限，從樣本直方圖不能直接得到完全規(guī)則分布的曲線，很難正確地選取閾值參數(shù)k(x)值。
(2)現(xiàn)實(shí)圖像中，即使在同一區(qū)域內(nèi)，平均灰度值往往是變化的，而不是嚴(yán)格滿足分段常數(shù)模型。
為克服以上問題,采取Mean Shift核平滑方法對算子直方圖進(jìn)行處理，使其盡可能準(zhǔn)確地刻畫多峰分布情況。
直方圖平滑效果示例如圖2所示。
為了降低計算復(fù)雜度, 在估計參數(shù)k(x)時，每隔r/2距離計算一次(r為鄰域半徑)，然后對每個像素點(diǎn)選擇最近鄰的最小值近似為該點(diǎn)閾值參數(shù)，并且每一次迭代之后更新參數(shù)k(x)值，也可設(shè)置每隔若干迭代次數(shù)更新一次參數(shù)k(x)值，這樣可保證一定精度的前提下，大大提高效率。由于基于直方圖算法復(fù)雜度較低，閾值參數(shù)估計計算相對于圖像平滑本身計算開銷較小。
3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析
為了比較自適應(yīng)參數(shù)的高階方法和P-M方法平滑的性能，進(jìn)行不同實(shí)驗(yàn)并加以分析。
(1)選用若干幅標(biāo)準(zhǔn)圖像進(jìn)行測試，圖3顯示沒有加入噪聲的Grid圖像平滑效果,從圖中可看出當(dāng)?shù)螖?shù)比較多時，P-M方法平滑的部分邊緣明顯被模糊了，而本文方法獲取的效果比較理想。
(2)圖4是對加入噪聲的圖像去噪的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，圖5給出了對圖4各邊緣的提取結(jié)果，其中圖5(b)采用最經(jīng)典的Canny邊緣提取算子。從圖4和圖5中可看出，P-M方法抑制孤立噪聲點(diǎn)和保持圖像邊緣的效果并不十分理想。圖4(b)和圖5(b)中，平滑后天空和地面存在很多孤立噪聲點(diǎn)，建筑物邊緣也很模糊，圖像中細(xì)節(jié)信息也有較大程度損失。從圖4(c)和圖5(c)來看，本文方法很好地實(shí)現(xiàn)了圖像平滑和保持邊緣的折衷，保證了圖像視覺連續(xù)性，其視覺效果明顯優(yōu)于P-M方法。
對于圖4(b)和圖4(c)而言，在迭代次數(shù)相同的情況下，自適應(yīng)參數(shù)高階方法所能達(dá)到峰值信噪比比P-M方法所能達(dá)到峰值信噪比要高得多，并且平均耗時比P-M方法增加不到20%。表1為對于Cameraman圖自適應(yīng)參數(shù)高階方法與P-M方法運(yùn)行時間和峰值信噪比的對比結(jié)果。
本文首先對經(jīng)典P-M方程存在兩大問題進(jìn)行分析，提出了自適應(yīng)參數(shù)高階偏微分方法，有效解決了P-M方法“階梯”效應(yīng)及其閾值參數(shù)選取問題，圖像平滑效果比較好，在耗時相對不長的情況下所能達(dá)到的峰值信噪比也P-M方法高。
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