圖1　中空外開槽波導及電子注橫截面示意圖.虛圓為電子注橫截面示意圖

　　在Ⅰ區(0＜r＜a)中

　(1)
　(2)
Ez=0　(3)

在Ⅱ區(a＜r＜b)中

Ez=0　(4)
Er=0　(5)

　(6)

其中

　(7)
B0=［-J′0(kcb)/Y′0(kcb)］A0　(8)

　　在以上各式中，E0為高頻場振幅，Γ為角向諧波數，ΑΓ為角向Γ次諧波項的振幅系數，kc為截止波數，q為開槽序數(q=1,2,…,N)，m代表高頻場的角向模式(m=0,1,2,…,N-1).AΓ的值以及電路的色散關系可由電磁場在r=a處的邊界條件確定.

　(9)

色散關系為

　(10)

　　式(9)表明，只有當空間諧波次數Γ=m+lN時，非零空間諧波項才存在.角向模式決定相鄰隙間高頻場的相位差，對于每一具體模式，此相位差值為m2π/N.每一角向模式均由無數個角向諧波項組成，其諧波振幅系數由式(9)決定.在所有角向模式中有兩個比較重要的模式，即π模式和2π模式，其角向諧波相對強弱分布情況見圖2.由圖2可知，2π模式的能量主要集中于零次諧波項中，而π模式的能量主要集中于±N/2次諧波項中.因此，π模式較2π模式更適合于高次回旋諧波互作用.如果電子注回旋諧波次數(用S表示)已經設定，那么槽數N的選擇應保證最強非零次角向諧波項的次數Г與回旋諧波次數S相等.如，對于π模式，槽數N應等于2S.

圖2　角向諧波振幅對角向諧波數(Γ)的相對分布示意圖.(a)π模式(m=N/2,N=6,θ0=15°)，(b)2π模式(m=0,N=6,θ0=15°)

　　當角向模式m和槽深(即a/b的值)確定后，截止波數kc的值可由式(10)通過數值求解方法求得［6，8，9］.

三、自洽非線性理論
　　在熱腔中，高頻場沿軸向呈緩變分布狀況，其對橫坐標(r,φ)的分布函數與冷腔情況相同.下面給出Ⅰ區中的熱腔高頻電場分量(TE波)表達式.

　(11)
　(12)
Ez=0　(13)

　　上述各式中，Cmn為電場歸一化系數，f(z)為一復函數，代表高頻場沿Z軸的緩變分布情況.Cmn的值由下式求得

　(14)

　　以下是自洽非線性注波互作用常微分方程組.
　　從洛倫茲公式
出發［8］，可推得電子在高頻場(E,B)和直流磁場(B0)作用下的運動方程.每個電子有6個運動參量方程，這里僅給出了速度分量及動量空間角3個運動參量方程.

　(15)
　(16)
　(17)

　　以上各式中，m0和γ分別為電子的靜止質量和相對論因子，φ為動量空間角，u=γv,v為電子的速度，如圖1所示.
　　從有源麥克斯韋方程出發，經過一系列復雜的推導并對電流進行離散化后得到非線性注波互作用場方程為

　(18)

上式中，P為在一個高頻場周期內所取的電子注批數，M為考慮電子注厚度因數而將電子注化分的圈數，N為每圈上所取的宏電子數，S為諧波次數.〈…〉表示對初始速度分布函數為g0(v⊥,vz)的速度空間進行平均.設電子注為單能電子注，速度零散主要來自于橫縱向速度比值(V⊥/Vz)的零散，這里按正態分布規律來處理速度零散，即初始速度分布函數為

式中K為歸一化常數,△vz為平均縱向速度零散，δ為狄拉克函數．
邊界條件

f(z)|z=0=f(0)　(19)
(20)

式中f(0)為輸入高頻場電場幅值.
　　方程(15)～(18)為自洽非線性注波互作用方程組.將電子注離散為NT個宏電子，則一共有6NT+2個一階非線性微分方程，結合邊界條件(19)、(20)，利用四階龍格庫塔法對注波互作用進行數值計算，計算結果在下部分內容中給出并討論.

四、結果與討論
　　表1給出了互作用電路參數，各圖表曲線相關參數見相應圖表標注.圖3給出了驅動功率為20W情況下，效率與電子速度比值α的關系.圖中B0、Bg分別為直流磁場和共振點磁場，ω為高頻場頻率，ωc為波導截止頻率.由于在回旋行波管中波的能量取自于電子的橫向能，又由于當α值增大，電子的橫向能量以及回旋半徑也隨著增大，因此互作用效率也就隨著α增大而增大.但當α增大到一定值后，注波互作用達到飽和，同時由于電子注回旋半徑過大，電子在波導壁上產生截獲，這樣互作用效率又隨α值增大而減小.

表1　數值模擬參數與結果